闭包：基本概念

闭包是可以包含自由（未绑定）变量的代码块；这些变量不是在这个代码块或者任何全局上下文中定义的，而是在定义代码块的环境中定义。“闭包” 一词来源于以下两者的结合：要执行的代码块（由于自由变量的存在，相关变量引用没有释放）和为自由变量提供绑定的计算环境（作用域）。在 Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby 和 Python 等语言中都能找到对闭包不同程度的支持。
闭包的价值在于可以作为函数对象 或者匿名函数，对于类型系统而言这就意味着不仅要表示数据还要表示代码。支持闭包的多数语言都将函数作为第一级对象，就是说这些函数可以存储到变量中、作为参数传递给其他函数，最重要的是能够被函数动态地创建和返回。

闭包的本质

集合 <math>S<math> 是闭集当且仅当 <math>Cl(S)=S<math>。特别的，空集的闭包是空集，<math>X<math> 的闭包是 <math>X<math>。集合的交集的闭包总是集合的闭包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况。无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集，但前者一定是后者的父集

若 <math>A<math> 为包含 <math>S<math> 的 <math>X<math> 的子空间，则 <math>S<math> 在 <math>A<math> 中计算得到的闭包等于 <math>A<math> 和 <math>S<math> 在 <math>X<math> 中计算得到的闭包（<math>Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)<math>）的交集。特别的，<math>S<math> 在 <math>A<math> 中是稠密的，当且仅当 <math>A<math> 是 <math>Cl_X(S)<math> 的子集。

闭包点

对欧几里德空间的子集 S，x 是 S 的闭包点，若所有以 x 为中心的开球都包含 S 的点（这个点也可以是 x）。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的闭包点，若对所有 r > 0，存在 y 属于 S，使得距离 d(x, y) < r（同样的，可以是 x = y）。另一种说法可以是，x 是 S 的闭包点，若距离 d(x, S) := inf{d(x, s) : s 属于 S} = 0（这里 inf 表示下确界）。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的闭包点，若所有 x 邻域都包含 S 的点。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

极限点

闭包点的定义非常接近极限点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中，点 x 的邻域必须包含和 x 不同的集合的点。

因此，所有极限点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是孤点。也就是说，点 x 是孤点，若它是 S 的元素，且存在 x 的邻域，该邻域中除了 x 没有其他的点属于 S。

对给定的集合 S 和点 x，x 是 S 的闭包点，当且仅当 x 属于 S，或 x 是 S 的极限点。

集合的闭包

集合 S 的闭包是所有 S 的闭包点组成的集合。S 的闭包写作 cl(S)，Cl(S) 或 S?。集合的闭包具有如下性质：

cl(S) 是 S 的闭父集。

cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集。

cl(S) 是包含 S 的最小的闭集。

集合 S 是闭集，当且仅当 S = cl(S)。

若 S 是 T 的子集，则 cl(S) 是 cl(T) 的子集。

若 A 是闭集，则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S)。

有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑闭包的定义。

在第一可数空间（如度量空间）中，cl(S) 是所有点的收敛数列的所有极限。

闭包的两个特点：
1、作为一个函数变量的一个引用 – 当函数返回时，其处于激活状态。
2、一个闭包就是当一个函数返回时，一个没有释放资源的栈区。
例1。
<script type=」text/javascript」>
function sayHello2(name) {
var text = 『Hello 『 + name; // local variable
var sayAlert = function() { alert(text); }
return sayAlert;
}
var sy = sayHello2(『never-online』);
sy();
</script>